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深圳中学24级数学竞赛班选拔考试真题 深圳中学8月1号的新高一数学竞赛班考试试题#数学竞赛 考试时间:3小时 总分:100分 共1页6道题 ️ 答题卡共2页 1️⃣ 因式分解(15分) (1) aⲠ- ab (2) a + ab + bⲊ(3) 6xⲠ- 23y - 20x + 5xy (4) 2x + x - 5x + 2 (5) x + x + 2xⲠ- x + 3 2️⃣ 三角形性质(15分) 在△ABC中,ZA、ZB、LC的对边分别为a、b、C,求证:A为锐角当且仅当a < b + c 3️⃣ 内切圆与内心(15分) 如图,是锐角△ABC的外接圆,O内切于点A,且与BC切于点D。点I是△ABC的内心,作△BCI的外接圆O2与O1交于点E、F。求证: A、D、O2三点共线 E、O1、F、O2四点共圆 4️⃣ 最值问题(15分) 已知非负实数a、b、c满足a + b + c = 3,求a + ab + abc的最大值和最小值。 5️⃣ 单循环赛(20分) 现有2n支队伍进行单循环赛(每队与其他2n-1支队伍分别进行一场比赛),满足以下条件:从中任意挑选n+2支队伍,必有一支队伍战胜其余n+1支队伍,也必有一支队伍被其余n+1支队伍战胜。求证:可以将这2n支队伍按照编号A1, A2, A3, ..., A2n的方式排列,使得编号为Ai的队伍战胜编号为Aj的队伍当且仅当i < j。 6️⃣ 数列问题(20分) 已知数列an,满足a1 = 2,当n > 2且n ∈ N*时,an = an-1 * an-2 - 1。求证:对于任意质数p与正整数k,都存在相应的正整数n使得pn = pk。
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