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三角形外接圆权威发布_三角形外接圆教学视频(2024年11月精准访谈)

内容来源：飘花网电影所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

三角形外接圆

𐟓š 九年级上册圆的知识点全解析 𐟔 圆的切线与切点：经过圆心作圆的切线，垂线经过切点；反之，经过切点作切线的垂线也经过圆心。 𐟓 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 𐟔„ 圆和圆的位置关系：无公共点：外离（d > R + r）有唯一公共点：外切（d = R + r）有2个公共点：相交（R - r < d < R + r）有唯一公共点：内切（d = R - r）无公共点：内含（d < R - r） 𐟌ˆ 三角形的外接圆与内切圆：内心：三角形内心是三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。外心：三角形外心是三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。重心：三角形重心是三边中线的交点，在三角形内部。 𐟓Š 垂径定理：在直角三角形中，如果一条直角边是圆的直径，那么这条直角边所对的角是直角。 𐟔 弧、弦、圆心角、圆周角的关系：弧长公式：弧长 = 半径㗠圆心角（度数）。弦长公式：弦长 = 2 㗠半径㗠sin(圆心角/2)。圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。 𐟓ˆ 圆的计算：阴影部分的面积计算，需要综合运用各知识求解。利用勾股定理、相似三角形等知识求解与圆相关的计算问题。 𐟎𛃤𙠩☨磦ž：证明直线DE是圆的切线。求图中阴影部分的面积。证明三角形内心、外心、重心的性质。利用垂径定理解决实际问题。利用弧长公式、弦长公式计算圆的周长和面积。

数学竞赛必备定理公式大全 𐟓š 初中数学竞赛中，掌握一些常用的定理和公式至关重要。以下是一些重要的数学定理，帮助你在竞赛中取得好成绩。中线定理 𐟓 AD为BC边上的中线结论：ABⲠ+ ACⲠ- 2(ADⲠ+ BDⲩ 垂线定理 𐟓˜ AD为BC边上的高结论：AB - BD = AC - CD 梅涅劳斯定理 𐟓– 一条直线与三角形ABC三边延长线交于R、Q、P 结论：AR/RB = PC'/QA = RC/PB 塞瓦定理 𐟓š 三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z 结论：ZBXC / YAZC = XBYA 角平分线定理 𐟓 AD为∠BAC平分线结论：BD/CD = AB/AC 斯特瓦尔特定理 𐟓˜ D为BC边上一点结论：D(AB' + DC) + AC.BD - AD' - BC = BC.DC.BD 射影定理 𐟓– BAC=90Ⱟ𜌁D⊥BC 结论：AD' = BD - CD，AB' = BDⷂC，AC' = COⷂC 外森匹克不等式 𐟓š 三角形面积为S 结论：a + bⲠ+ cⲠ> 4√3S 西姆松定理 𐟓 过三角形ABC外接圆上一点P作三边延长线的垂线结论：三个足M、N、Q共线海伦公式 𐟓˜ AABC三边分别为a、b、c 结论：S△ABC = p(p - a)(p - b)(p - c)，其中p = (a + b + c)/2 燕尾定理 𐟓– AABC中，AD、BE、CF相交于同一点O 结论：S△AOB = S△AOC = S△BOC / 2 拖勒密定理 𐟓š 四边形ABCD为内接四边形结论：ACⷂD = ABⷃD + ADⷂC，AC - BD < AB - CDⷁD - BC，当且仅当ABCD四点共线时等号成立九点圆 𐟓 三角形三边的中点，三条边的垂足和各顶点与心连线的中点共线结论：九点圆的半径是三角形外接圆半径的1/2，九点圆的圆心在欧拉线上，为三角形内心外心的中点，九点圆的三个切点分别是三角形的三个内心点垂美四边形 𐟓˜ 对角线互相垂直的四边形ACBD 结论：AB' + CD' = AD' + BC'，P是矩形内任意一点，PA' + PC' = PB' + PD' 维维亚尼定理 𐟓– P是三角形ABC内任意一点，P到三边的距离分别是h1、h2、h3，三角形ABC的高为H 结论：h1 + h2 + h3 = H 炫切角定理 𐟓š PA切于A，PB切于B，PC切于C 结论：LPAC = PA / PC = PB / PC 圆幂定理 𐟓 相交弦定理：弦AB与弦CD交于P，PAⷐB = PCⷐD 切线定：PQ切圆于Q，线PB、PO交圆于A、C，PAⷐB - PCⷐD = PQ'Ⲋ莫利定理 𐟓˜ AABC各内角的三等分线交点，构成的三角形ADEF为等边三角形笛沙格定理 𐟓– AABC和AAIBICI甲，AAI、BBI、CCI交于一点P，AB与AB的交点D，BC与BIC的交点E，AC与ACI的交点F，三点共线

欧氏几何中的经典问题与解法 𐟓œ 欧氏几何中的经典问题与解法 𐟔 在欧氏几何中，有许多经典的问题需要通过精心设计的证明来解决。以下是一些精选的问题和它们的解法： 𐟓– 问题：证明三角形内角和为180度。解法：通过作辅助线，将三角形分割成两个直角三角形，然后利用直角三角形的性质来证明。 𐟓 问题：证明勾股定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明勾股定理。 𐟔—˜：找出三角形外接圆的半径。解法：通过作三角形的三条垂直平分线，找到外接圆的圆心，然后计算半径。 𐟓 问题：证明三角形内角平分线定理。解法：利用角平分线的性质和三角形的相似性，通过构造相似三角形来证明。 𐟔 问题：找出三角形内心和外心的位置。解法：通过作三角形的三条角平分线和垂直平分线，找到内心和外心的位置。 𐟓 问题：证明正弦定理和余弦定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明正弦定理和余弦定理。 𐟔—˜：找出三角形的重心和垂心。解法：通过作三角形的三条中线和垂线，找到重心和垂心的位置。 𐟓 问题：证明平面几何中的一些基本性质，如平行线的性质、相似三角形的性质等。解法：利用已知的几何性质和定理，通过逻辑推理和几何作图来证明。这些问题只是欧氏几何中的冰山一角，还有许多其他有趣且富有挑战性的问题等待我们去探索和证明。通过这些问题的解决，我们可以更好地理解几何的本质和美感。

𐟔𘉨璥𝢤𚔥🃥奧瘥䧦�˜ 𐟔 𐟌 三角形五心定律，揭秘三角形的奥秘！这五个心，每个都有其独特的性质和重要性。它们是：重心、外心、垂心、内心和旁心。让我们一一探索它们的特点吧！ 1️⃣ 重心定理：三角形的三条中线交汇于一点，这个点就是三角形的重心。重心到三角形三个顶点的距离平方和最小，这是数学中的一个小奇迹。 2️⃣ 外心定理：三角形的三边垂直平分线交汇于一点，这个点就是三角形的外心。外心是三角形外接圆的圆心，与内心相对应。 3️⃣ 垂心定理：三角形的三条高线交汇于一点，这个点就是三角形的垂心。垂心与重心、外心和内心共同构成了三角形的四心。 4️⃣ 内心定理：三角形的三个内角平分线交汇于一点，这个点就是三角形的内心。内心是三角形内切圆的圆心，与外心相对应。 5️⃣ 旁心定理：三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交汇于一点，这个点就是三角形的旁心。三角形有三个旁心，它们与重心、外心和内心共同构成了五心。 𐟔𙠧‰𙥈릏醒：正三角形是特殊的，它的重心、内心、外心和垂心四心合一，形成一个完美的几何点。这不仅是数学的奇迹，也是艺术的灵感来源。 𐟒ᠨ𝏨🙤𚛥†，理解三角形的五心，你就能更好地掌握几何学的奥秘！

𐟎𞥤–接球模型：墙角模型解析𐟓 𐟔探索外接球模型的奥秘，今天我们来聚焦墙角模型！𐟧𑊊𐟓在墙角模型中，我们有三条边长：DA=a, DB=b, BC=c。𐟓这些边长与外接球的半径R有着紧密的联系。 𐟔⦠𙦍쥼：2R = aⲠ+ bⲠ+ cⲯ𜌦ˆ‘们可以轻松计算出外接球的半径R。𐟒ᨿ™个公式是求解墙角模型外接球半径的关键！ 𐟒᦭䥤–，对于三角形外接圆的半径r，我们也有特定的求解方法。对于特殊三角形，如正三角形和等腰三角形，可以通过特定的角度和边长关系来求解。𐟓而对于一般三角形，我们则需要利用余弦定理和正弦定理来求解。 𐟎‰现在，你是否对外接球模型有了更深入的了解呢？让我们一起探索更多的数学奥秘吧！𐟌Ÿ

圆的基础知识梳理：从零开始到进阶 𐟌Ÿ 圆的基础概念定义：在一个平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A的轨迹形成的图形叫做圆。相关概念：同圆：所有半径都相等的圆。同心圆：圆心相同的圆。等圆：大小形状完全相同的圆。三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，称为三角形的外接圆。 𐟌ˆ 圆的性质与定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。切线长定理：由圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等；圆心与这个点的连线平分两条切线形成的夹角。 𐟔 直线与圆的位置关系点与圆的位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外。直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。切线的性质与判定：圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 𐟎蠦�䚨𞹥𝢤𘎥œ† 正多边形：各条边相等，且各个内角也都相等的多边形叫正多边形。中心、半径、中心角、边心距：正多边形的中心是外接圆的圆心，半径是外接圆的半径，中心角是正多边形每一条边所对的圆心角，边心距是中心到正多边形边的距离。 𐟌ˆ 阴影部分面积的计算割补法：割割补补，哪里需要补哪里。拼凑法：拼拼凑凑，拼凑出新的图形。等积变形：利用平行线间距离处处相等，可找到等面积三角形。 𐟔 圆中的相似相交弦定理：弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PAⷐB=PCⷐD。切割线定理：P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，则PAP=PBⷐC。割线定理：P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PAⷐB=PCⷐD。

三角形的心脏与线条：记忆小技巧三角形的“四心”：重心：三角形三条中线的交点。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。内心：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。内心到三角形三边的距离相等。外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。外心到三角形三个顶点的距离相等。垂心：三角形三条高所在直线的交点。三角形的“五线”：中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。高线（或叫垂线段）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。中位线：连接三角形两边中点的线段。中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。中垂线（垂直平分线）：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。

三角形五心总结：初中数学必备知识点三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。以下是它们的详细总结： 𐟌Ÿ 外心定义：三角形外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点。性质一：锐角三角形：外心在三角形内。直角三角形：外心在斜边上，与斜边中点重合。钝角三角形：外心在三角形外。等边三角形：外心与内心同一点。性质二：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。 𐟒™ 内心定义：三角形内心是三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。性质：内心的点也是这个三角形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等。 𐟓 垂心定义：三角形的三条高线所在直线的交点叫做三角形的垂心。性质一：锐角三角形：垂心在三角形内。直角三角形：垂心在直角顶点上。钝角三角形：垂心在三角形外。性质二：三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。性质三：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）性质四：等边三角形的重心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。 𐟟⠦—心定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心。它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。性质一：三角形的旁心是其一内角的平分线（所在直线）和其他两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等。性质二：三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。性质三：一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比。通过这些总结，可以更好地理解和掌握三角形的五心概念。

三角形五心详解及其性质定理三角形五心及相关定理是初中数学的重要知识点，也是中考数学几何模型的常见考点。以下是三角形五心的详细总结及其相关性质定理。 𐟓Œ 一重心定义：三角形三边中线的交点。性质：重心将每条中线分为2:1的比例。公式：$BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$。结论：重心到三角形任意一边的中点连线，与该边平行且等于该边的一半。 𐟓Œ 二垂心定义：三角形三垂线的交点。性质：垂心与三角形的三个顶点组成垂心组。结论：垂心到三角形任意一边的垂线，与该边垂直且等于该边的一半。 𐟓Œ 三外心定义：三角形三达中垂线的交点。性质：外心是三角形的外接圆圆心。公式：$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$。结论：外心到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值。 𐟓Œ 四内心定义：三角形三条内平公线的交点。性质：内心是三角形的内切圆圆心。公式：$r = \frac{2S}{a + b + c}$。结论：内心到三角形任意一边的距离等于该边的长度乘以该边对应的正弦值的一半，再除以三角形的周长。 𐟓Œ 五旁心定义：三角形一内向平与外两外线的交点。性质：旁心在三角形内部，且到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值的一半。 𐟓Œ 欧拉线结论：重心、外心、垂心三点共线，且重心到垂心的距离等于外心到垂心的距离的两倍。 𐟓Œ 五点共圆结论：重心、外心、内心、垂心在三角形中五点共圆，且这个圆的半径等于外接圆半径的一半。通过以上总结，我们可以更好地理解和掌握三角形五心的性质和定理，为解决相关数学问题打下基础。

高中数学立体几何：球的切接与截面翻折 𐟓š 高中数学专题整理——立体几何 𐟔 球的切、接问题及截面、翻折问题外接球题型归类三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直→还原成长方体→2R=aⲫb+c 长方体（正方体）的特殊性质三棱锥对棱相等：mⲫnⲫpⲽ2RⲊ等边三角形与等腰直角三角形连接投影为矩形线面垂直型线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形），外接圆半径是r，满足正弦定理计算公式：R=PC+2；其中21-sinⲎ𘊩⩝⥞‚直型一般情况下，两面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心。许多情况下，会和二面角结合求多面体的外接球半径的常见方法三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心立体几何中截面的处理思路直接连接法有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程作平行线法过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线作延长线找交点法若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线辅助平面法若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面 𐟓– 制作：习理科实验室（数学教研组）