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直线和圆相切权威发布_直线与圆的三种位置(2024年12月精准访谈)

内容来源：飘花网电影所属栏目：观点更新日期：2024-11-30

直线和圆相切

𐟓š 圆与圆的位置关系及切线方程解析 𐟎“ 准备明天的课程，继续讲解新的知识点，包括圆与圆的位置关系、圆系方程以及切线方程。这些内容将在两个课时内完成，晚自习将进行作业评讲。最近关于圆的作业计算量较大，学生们可能会觉得有些挑战。 𐟓 接下来，我会抽空讲解一些圆的专题，帮助学生们更好地理解和掌握这些内容。 𐟔 课题一：圆与圆的位置关系 𐟓š 课型：新课讲解 ⏰ 时间：两个课时 𐟓 内容：详细讲解圆与圆的各种位置关系，包括相交、相切、相离等情况。 𐟔 课题二：圆系方程 𐟓š 课型：新课讲解 ⏰ 时间：两个课时 𐟓 内容：介绍圆系方程的概念和求解方法，帮助学生掌握如何通过已知条件求解圆的方程。 𐟔 课题三：切线方程 𐟓š 课型：新课讲解 ⏰ 时间：两个课时 𐟓 内容：讲解如何求圆的切线方程，包括直线与圆相切的条件和求解方法。 𐟓Œ 每个课题都会通过详细的例题和练习来巩固学生们的知识，确保他们能够熟练掌握这些内容。

九年级数学知识点：圆的基础与进阶 𐟓š 圆的定义与性质动态定义：在一个平面内，线段OA绕其固定端点O旋转一周，另一端点A形成的图形称为圆。静态定义：所有到圆心距离等于半径的点的集合。表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 𐟔„ 弦、直径与弧弦：连接圆上任意两点的线段。直径：经过圆心的弦。弧：圆上任意两点间的部分。优弧：大于半圆的弧。劣弧：小于半圆的弧。 𐟓Œ 圆的位置关系点和圆的位置关系：点到圆心的距离与半径的关系。直线和圆的位置关系：直线与圆相交、相切或相离。 𐟔 切线的判定与性质判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 𐟓 切线长及切线长定理切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平方两条切线的夹角。 𐟌 内切圆和外接圆内切圆：与三角形各边都相切的圆。外接圆：经过三角形各顶点的圆。 𐟓 扇形面积与孤长公式孤长公式：l = 180 㗠2。扇形面积公式：S = 360 㗠ⲣ€‚ 𐟔頥œ†锥面积公式侧面积：S侧 = ⲣ€‚ 全面积：S全 = Ⲡ+ ⲣ€‚ 𐟓– 通过这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆的性质和定理，为中考做好充分准备。加油，九年级的同学们！𐟒ꀀ

高中数学：圆的切线方程与切点弦推导 𐟎œ†的切线方程和切点弦的推导是高中数学中的重要知识点，以下是详细的推导过程： 1️⃣ 切线方程的推导：首先，我们已知圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。设切点为P(x0, y0)，则切线方程可以通过以下步骤推导：将圆的方程展开，得到：x^2 - 2ax + y^2 - 2by + a^2 + b^2 = r^2。将切点P(x0, y0)代入上述方程，得到：x0^2 - 2ax0 + y0^2 - 2by0 + a^2 + b^2 = r^2。整理上述方程，得到切线方程为：(x - x0) * (a - x0) + (y - y0) * (b - y0) = r^2。 2️⃣ 切点弦的推导：切点弦是过圆上某一点的直线，且与圆相切。设切点弦为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。将切点弦代入圆的方程，得到：(k^2 + 1)x^2 + (2kb - 2a)x + (b^2 - 2by0 + a^2 + b^2) = 0。由于切点弦与圆相切，所以上述方程有且仅有一个解，即判别式= 0。解得：(k - x0) * (b - y0) = 0。因此，切点弦的方程为：y = kx + b，其中k = x0，b = y0。 𐟓 通过以上步骤，我们可以得到圆的切线方程和切点弦的推导过程，希望对大家有所帮助！

𐟓 凸轮机构设计与作图指南 𐟓Š 𐟖Œ️ 作图步骤总结：滚子从动件凸轮机构的基圆半径是从理论轮廓线上测量的，压力角、位移和行程都在理论轮廓上绘制。凸轮上任意点的压力角是该点受力方向与速度方向之间的锐角。受力方向是凸轮上该点的法线方向，特别是当凸轮理论轮廓线为圆时，受力方向是该点与圆心的连线方向。速度方向是从动件的导路方向。对于对心从动件凸轮机构，速度方向是接触点与转动中心O的连线；对于偏置从动件凸轮机构，速度方向是过接触点且与偏距圆相切的直线方向，注意：这样的切线有两条，从动件在机架（转动中心O）的哪一侧，则为哪一侧的切线。位移量应在从动件的导路方向上做出。对于对心从动件凸轮机构，位移量在接触点与转动中心O的连线上；对于偏置从动件凸轮机构，位移量在偏距圆的切线上。行程与位移量的不同之处在于行程是最大位移量，最大位移量发生在凸轮轮廓的最大曲率半径处。首先找出最高点，连结基圆与轮廓线的交点与转动中心O并延长与凸轮轮廓线的交点即为最高点。对于对心从动件凸轮机构，最大位移量为最高点与所作直线和基圆较近侧交点的连线；对于偏置从动件凸轮机构，最大位移量为最高点与所作偏距圆的切线和基圆较近侧交点的连线。 𐟓 通过以上步骤，你可以准确绘制出凸轮机构的位移和行程，从而更好地理解和设计凸轮机构。

娃问我一个经典几何作图题:过已知两点做一个圆，使得它恰好和已知直线相切。他说他是网上看来的(图片并不是说这题，只是提到圆束)

直线与圆的位置关系详解：相交、相切、相离大家好，今天我们来聊聊直线和圆的各种位置关系。其实，直线和圆的位置关系主要有三种：相交、相切和相离。每种情况都有不同的判定方法和求解技巧。下面我就详细给大家讲解一下。相交、相切、相离的判定 𐟓 首先，我们来说说相交的情况。当直线和圆有公共点时，我们就说它们相交。具体判定可以通过比较直线到圆心的距离和圆的半径大小来判断。如果直线到圆心的距离小于圆的半径，那么直线和圆就相交；如果距离等于半径，那么直线和圆相切；如果距离大于半径，那么直线和圆相离。求圆的切线 𐟔 接下来，我们来看看如何求圆的切线。首先，我们要明确一点，切线是垂直于半径的。所以，我们可以通过以下几种方法来求切线：利用已知的两点求切线方程。利用切线的斜率公式求切线方程。假设直线斜率不存在，然后通过已知点求切线方程。求弦长 𐟓 最后，我们来说说如何求弦长。弦长其实就是连接圆上两点的线段的长度。求弦长的方法有很多，但最常用的还是通过求交点来计算。具体步骤如下：找出直线和圆的交点。利用两点间距离公式求出弦长。希望这些方法能帮到大家！如果还有什么不明白的地方，欢迎留言讨论哦！𐟘Š

𐟌ŸCAD自学小挑战：逐步绘制复杂图形𐟌Ÿ 𐟔𕠨“色部分：首先绘制一个蓝色圆，然后偏移14单位，分别画出直径为9和半径为11的圆。接着，将这些圆与半径为19的蓝色圆进行圆角处理。 𐟟 橙色部分：先画一个半径为34的辅助圆，然后找出交点，再画半径为4和10的圆。选中这些圆及辅助线，旋转复制45度。最里面的圆弧圆角半径为30，后面的圆弧则通过偏移来绘制。 𐟔𔠦𔋧𚢩ƒ襈†：画出辅助线并旋转30度，然后在这个角度上画两个圆。 𐟒– 粉色部分：同样画出辅助线并旋转30度，然后在这个角度上画一个半径为4的圆。选择圆心直接拖动输入9，连接切点画好圆后，直接偏移4即可。 𐟟⠧𛿨‰𒩃襈†：画一个直径为58的绿色圆，先不要修剪。然后根据需要与蓝色、橙色和黄色部分相切，并进行圆角处理。 𐟟ᠩ𛄨‰𒩃襈†：这个部分相对简单，需要注意的是与橙色部分的相接位置。先画出半径为12的圆弧，并与绿色圆相切，然后进行圆角处理，半径分别为12和3。 𐟔„ 在绘图过程中，养成边画边修剪的习惯，这样可以使图形更加整洁有序。常用的CAD命令包括：画圆（C）、旋转（RO）、直线（L）、偏移（O）和修剪（TR）。 𐟓 通过这些步骤，你可以逐步掌握CAD的基本操作，挑战更多复杂的图形绘制。加油！

初三数学知识点（三）：圆的部分 ### 圆的基本性质 𐟌• 圆的定义：圆是由在同一平面内，到定点距离等于定长的所有点组成的集合。弦、直径：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦。弧、等弧、优弧、劣弧、半圆：这些都是根据弧的长度来定义的。弦心距：从圆心到弦的垂线段的长度。等圆、同圆、同心圆：这些是根据圆的大小和位置来区分的。 “三点定圆”定理：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。垂径定理及其推论：垂径定理是说，从圆心到弦的垂线段的长度等于弦的一半。 “等对等”定理及其推论：如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。与圆有关的角 𐟌 圆心角定义：等于所对的弧的度数。圆周角定义：等于所对的弧的一半。弦切角定义：弦切角等于所对的弧的一半。直线和圆的位置关系 𐟚— 三种位置及判定与性质：相离、相切、相交。切线的性质：切线垂直于半径，且过切点。切线的判定定理：通过已知条件判定切线。切线长定理：切线长等于半径加半径。圆换圆的位置关系 𐟌€ 五种位置关系及判定与性质：外离、外切、相交、内切、内含。相切（交）两圆连心线的性质定理：连心线垂直于两圆的公共弦。两圆的公切线：定义和性质。与圆有关的比例线段 𐟓 相交弦定理：相交弦的比例等于它们所对的弧的比例。切割线定理：切割线的比例等于它所对的弧的比例。与正多边形 𐟐 圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）。三角形的外接圆、内切圆及性质。圆的外切四边形、内接四边形的性质。正多边形及计算：中心角、内角的一半等。一组计算公式 𐟓 圆周长公式：C = 2。圆面积公式：S = ⲣ€‚ 扇形面积公式：S = (360) 㗠ⲯ𜌥…𖤸편是扇形的中心角。弧长公式：L = 㗠r，其中˜良秚„角度。弓形面积的计算方法：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积。圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算：圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。点的轨迹 𐟌ˆ 六条基本轨迹：抛物线、双曲线、椭圆、圆的轨迹等。有关作图 𐟖Œ️ 作三角形的外接圆、内切圆。平分已知弧。作已知两线段的比例中项。等分圆周：4、8;6、3等分。基本图形 𐟓œ 重要辅助线 𐟛 ️ 作半径。见弦往往作弦心距。见直径往往作直径上的圆周角。切点圆心莫忘连。两圆相切公切线（连心线）。两圆相交公共弦。

CAD入门练习：绘制基础图形全攻略 𐟎𛘥ˆ𖥜†的命令是：C 𐟓 绘制直线的命令是：L 𐟔„ 阵列的命令是：AR ✂️ 修剪的命令是：TR—F 𐟔 草图设置的命令是：SE 𐟔砥﹨𑡦•捉的命令是：SE 𐟔„ 正交的命令是：F8 𐟓‹ 项目的命令是：I 𐟓 详细步骤如下： 1️⃣ 输入C空格，画一个任意大小的圆。然后输入SE空格，打开象限点。接着按F8打开正交，输入L空格，画出如图所示的图像。 2️⃣ 输入AR空格，选中直线，空格。然后输入PO极轴，选择圆心，按i空格，输入5空格，再按空格结束。 3️⃣ 用圆的相切、相切、相切功能画出如图的小圆。 4️⃣ 输入AR空格，选中小圆，空格。然后输入PO极轴，选择圆心，按i空格，输入5空格，再按空格结束。 5️⃣ 输入X空格，选中直线和小圆，空格分离。 6️⃣ 输入TR空格，空格，F空格（去掉外围不需要的部分），如图所示。 7️⃣ 输入DLI空格，画出如图的标注。然后输入SC空格，全选空格，选中圆心为基点，按R空格，选中标注两端，输入80空格。

高中数学人教版A 选择性必修一知识点总结 𐟓š 空间向量与立体几何加法：a+b=(a+b1,a+b2,as+bs) 减法：a-b=(aj-b,a-b,as-bs) 数量积：ab=a,b,+ab+ayb 𐟓 直线和圆直线方程：y=kx+b（点斜式），y=kx+b（斜截式），y=kx+b（两点式），y=kx+b（截距式）圆方程：(x-a)ⲫ(y-b)ⲽrⲯ𜈦 ‡准式） 𐟓– 圆锥曲线椭圆：标准方程(a>0,b>0)或(a>0,6>0) 双曲线：标准方程(a>0,b>0)或(a>0,6>0) 抛物线：标准方程yⲽ2px（p>0） 𐟔 几何性质椭圆：离心率e=sin a+sin b，焦点弦长IPF1=1+cos，以焦点弦为直径的圆与准线相切双曲线：离心率e=1+Tsin a-sin b，焦点弦长IPF1=1+cos，以焦点弦为直径的圆与准线相切抛物线：焦点弦长IPQ1=x,+x+p，以焦点弦为直径的圆与准线相切 𐟓ˆ 解析法联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为关于x（或y）的一元二次方程后，由根与系数的关系求解。 𐟓Š 点差法设A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线上不同的两点，且x1x2+y1y2=0，M(x,y)是AB的中点，O为坐标原点。若该圆锥曲线方程为yⲽ2px（p>0），则k=p/x；若该圆锥曲线为椭圆，则k=y/x；若该圆锥曲线为双曲线，则k=-y/x。

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